Hay actividades que parecen un puzle de infantil y aguantan hasta 6.º. Rellenar una silueta es una de ellas: se da una figura dibujada a tamaño real y una caja de pattern blocks, y se pide cubrirla sin huecos ni solapamientos. Y lo interesante no es rellenarla: es lo que pasa cuando preguntas de cuántas maneras distintas se puede.
Estas son las tres siluetas de la actividad:
Antes de empezar: dos familias de piezas que no se mezclan
Las seis piezas comparten el mismo lado. Tomamos como unidad el lado del triángulo verde y lo llamamos s: es también el lado del cuadrado, el del trapecio, el de los dos rombos y el del hexágono.
Si además medimos las áreas en triángulos verdes, el rombo azul vale 2, el trapecio rojo vale 3 y el hexágono amarillo vale 6. Todas esas piezas se apoyan en la misma retícula triangular.
El cuadrado naranja y el rombo beige, no:
| Pieza | Área | En triángulos verdes |
|---|---|---|
| Triángulo verde | √3/4 · s² | 1 |
| Rombo azul | √3/2 · s² | 2 |
| Trapecio rojo | 3√3/4 · s² | 3 |
| Hexágono amarillo | 3√3/2 · s² | 6 |
| Cuadrado naranja | s² | 4/√3 ≈ 2,309 |
| Rombo beige | s²/2 | 2/√3 ≈ 1,155 |
Esos dos números son irracionales, y de ahí sale todo. Si una silueta mide un número entero de triángulos verdes y la rellenamos con k cuadrados, m rombos beige y piezas de la retícula, el área obliga a que (4k + 2m)/√3 sea entero. Como √3 es irracional, la única salida es k = m = 0.
En el hexágono y en la estrella, el cuadrado naranja y el rombo beige no pueden aparecer. No es que sea difícil: es imposible, y el motivo es de área, no de encaje.
Y funciona igual en el otro sentido. La casa no mide un número entero de triángulos verdes, porque sus paredes son cuadrados; ahí el cuadrado naranja no solo puede aparecer, es que no hay alternativa.
Esto responde de golpe a la pregunta «¿con qué colores no se puede?», y explica por qué la casa se comporta distinto de las otras dos.
1. El hexágono
Área: 6 triángulos verdes.
Mínimo: 1 pieza. Máximo: 6. Y —esto es lo bonito para el aula— se puede con cualquier número intermedio: hay soluciones de 1, 2, 3, 4, 5 y 6 piezas.
Los ocho surtidos posibles:
| Piezas | Nº de piezas | Colocaciones |
|---|---|---|
| 1 hexágono | 1 | 1 |
| 2 trapecios | 2 | 3 |
| 3 rombos | 3 | 2 |
| 1 trapecio + 1 rombo + 1 triángulo | 3 | 12 |
| 1 trapecio + 3 triángulos | 4 | 6 |
| 2 rombos + 2 triángulos | 4 | 9 |
| 1 rombo + 4 triángulos | 5 | 6 |
| 6 triángulos | 6 | 1 |
| Total | 40 |
Esas 40 colocaciones se reducen a 9 soluciones esencialmente distintas si consideramos iguales las que se obtienen girando o reflejando el hexágono.
Con un solo color se puede de cuatro maneras: amarillo (1), rojo (2), azul (3) y verde (6). Naranja y beige quedan descartados por lo de antes.
2. La casa
La casa es la silueta que rompe la regla, y por eso merece la pena tenerla en la actividad.
Las paredes están forzadas. Son dos cuadrados, y un cuadrado solo puede cubrirse con cuadrados: ninguna otra pieza tiene un ángulo de 90°, y el argumento del área lo remata. No hay nada que decidir ahí.
El tejado es un trapecio, o sea 3 triángulos, y admite 4 rellenos:
- 1 trapecio rojo
- 1 rombo azul + 1 triángulo verde (en dos posiciones simétricas)
- 3 triángulos verdes
Total: 4 maneras, o 3 esencialmente distintas si la casa se puede reflejar. Mínimo 3 piezas, máximo 5.
La pregunta que mejor funciona aquí es «¿hay alguna parte que solo se pueda rellenar de una manera?». La respuesta —las paredes— suele salir antes de que nadie sepa justificarla.
3. La estrella
Área: 12 triángulos verdes, exactamente dos hexágonos.
Aquí el salto es grande: 854 colocaciones, que son 95 soluciones esencialmente distintas y 17 surtidos de piezas diferentes.
| Nº de piezas | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Colocaciones | 65 | 223 | 297 | 190 | 66 | 12 | 1 |
Mínimo 6 piezas, máximo 12. Tres cosas que casi nadie ve venir:
- El mínimo no lleva el hexágono amarillo. Hay cuatro surtidos de 6 piezas, y el hexágono no está en ninguno. De hecho el hexágono solo cabe de una manera en toda la estrella: en el centro, con 6 triángulos en las puntas.
- Se puede sin ningún triángulo verde: 6 rombos azules. Cada rombo se traga una punta y el triángulo interior que la sostiene. Es la única solución sin triángulos.
- No se puede solo con trapecios, aunque el área cuadre (4 × 3 = 12). El recuento exhaustivo no encuentra ninguna. Buen momento para insistir en que el área cuadre no garantiza que la figura se pueda rellenar.
Qué preguntar en clase
El material da poco por sí solo; las preguntas lo son todo. Por orden de dificultad:
- ¿Puedes rellenarla? ¿Cuántas piezas has usado?
- ¿Y con más piezas? ¿Y con menos?
- ¿Cuál es el mínimo? ¿Y el máximo? ¿Cómo sabes que no hay menos?
- ¿Se puede con todos los números entre el mínimo y el máximo?
- ¿Con piezas de un solo color? ¿Con cuáles no se puede, y por qué?
- Si el hexágono vale 6, ¿cuánto vale la silueta entera?
Las dos últimas son las que abren la puerta a las fracciones y al argumento de áreas en el tercer ciclo. En primer ciclo basta con contar y comparar.
Para llevarlo al aula
- Pattern Blocks: rellenar tres siluetas La actividad completa, con las tres siluetas a tamaño real para imprimir.
- El editor de Pattern Blocks Con el que están hechas estas siluetas. Sirve también para proyectarlas en clase o para preparar las tuyas.
- Las piezas en STL Para imprimir las piezas en 3D si no las tienes.
